Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Función Inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.




En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:

Ejemplo de función inyectiva

La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.




Veamos que se cumple la condición de inyectividad:




En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.




Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.




Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.




El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).




Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.




Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:




Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.




La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.


Información Extraída de:
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivas-sobreyectivas-biyectivas/