RAZONES Y PROPORCIONES
Buenos días,
Avanzando con las temáticas propuestas para el desarrollo de este curso de matemáticas vamos a repasar los temas de razones y proporciones. Para ello vamos ver los siguientes vídeos, y luego vamos a descargar la guía , para ello vamos a dar clic AQUÍ
Una razón es una relación entre dos o más cantidades, que puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
DEFINICIÓN DEPROPORCIÓN
Para poder encontrar el origen etimológico del término proporción, tenemos que “marcharnos” hasta el latín. Y es que deriva de la palabra “proportio”, sobre la que existen diversas teorías. Así, hay quienes consideran que es fruto de la suma del prefijo “pro-” (hacia delante) y el sustantivo “portio” (porción), mientras están los que creen que directamente emana de la locución “pro portione”. Esta significa “de acuerdo a la parte de cada uno”.
Proporción es un término que procede del vocablo latino proportĭo. Se trata de la correspondencia, el equilibrio o la simetría que existe entre los componentes de un todo. La proporción puede calcularse entre los elementos y el todo o entre los propios elementos.
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1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos :
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :
A = a • b
Por lo tanto la respuesta sería :
A = 40 • 24 = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2
Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:
Ejemplo 3:
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?
En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:
1° se considera el total de vehículos: 33
2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).
3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.
Respuesta: Hay 12 automóviles
Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)
a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?
Respuesta: Los números son 4 y 6
b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color? Respuesta: 6 azules y 15 rojas
c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller? Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.
2- Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
Ejemplo:
Si tenemos la proporción:
Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas SON PROPORCIONES.
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