Grado Décimo: Ecuaciones Trigonométricas con identidades

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Ecuaciones Trigonométricas

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Objetivos

• Definida una ecuación trigonométrica y modeladas varias soluciones de las mismas, cada estudiante resolverá correctamente ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2$$ π ) .
• Haciendo uso de diferentes técnicas de solución de ecuaciones, cada estudiante determinará sin error la solución general de ecuaciones trigonométricas dadas.

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Introducción

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas y se resuleven usando técnicas similares a las usadas en ecuaciones algebraicas, por lo que las soluciones representaran ángulos.
Por ejemplo las siguientes son ecuaciones trigonométricas:

1. $2$ sen (x) = 1
2. $8\mathrm{cos(}$ π3 x)=5
3. ${\tan }^{}$ 2 (2 x − 1) = 0

Si la medida de los grados no esta especificada, entonces se trabajara en radianes.

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Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas

Resolveremos las ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2 $\pi$ ) y también de forma general.
Ejemplo 1
Encontrar la solución de la ecuación, $sen$  (x) = 1 2

• En el intervalo [0, $2\pi$ ).
• En todos los números reales

$$Solución:
Si $sen\; (x)$ = 1 2 entonces el ángulo de referencia para x es x = $\pi$ 6, que se encuentra en el cuadrante I; si consideramos otra solución de la ecuación vemos que $x$ = π − π 6 = 5 π 6 , ubicada en el cuadrante II, es otra solución en el intervalo [0, 2 $\pi$ ), a continuación se muestra gráficamente.

Como la función seno tiene período 2 $\pi$ , podemos obtener todas las soluciones, sumando múltiplos de 2 $\pi$ a $\pi$ /6 y a 5 π /6, así tenemos:
$x$ = π 6 + 2 πn ,   $x$ = 5 π 6 + 2 πn
para todo entero n.

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Ejemplo 2
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, $2$ cos x − 1 = 0
Solución:
$2$ cos x − 1 = 0
2$$ cos x = 1
$cos\; x$ = 1 2
Análogamente con el ejemplo anterior tenemos la gráfica

Observando la imagen encontramos que los ángulos que solucionan la ecuación en [0, 2 $\pi$ ), son:
$x$ = π 3 ,   $x$ = 5 π 3 , soluciones en el I y IV cuadrante respectivamente.
Como la función coseno tiene período 2 $\pi$ , sumamos múltiplos de este número a las soluciones anteriores.
$x$ = π 3 + 2 πn ,   $x$ = 5 π 3 + 2 πn
para todo entero n.

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Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas que envuelven ángulo doble

Resolveremos las ecuaciones trigonométricas cuyas funciones trigonométricas envuelven ángulo doble, en el intervalo [0, 2 $\pi$ ) y también de forma general.
Ejemplo 3
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, $cos\; 2$ x = 0
Solución:
Sabemos que si $cos\; \theta$ = 0 , entonces:
$\theta$ = π 2 + πn
sea θ = 2x luego $2x$ = π 2 + πn , entonces
$x$ = π 4 + π 2 n
En grados, tenemos: $x$ = 45 o + 90 o n

La figura muestra las soluciones de la ecuación trigonométrica coseno del ángulo doble.

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Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas mediante Factorización

Usaremos factorización para resolver ecuaciones trigonométricas.
Ejemplo 4
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, $sen\; (\theta )$ tan (θ) = sen (θ)
Solución:
$sen$  ( θ ) tan  ( θ ) = sen  ( θ ) dado
$sen$  ( θ ) tan  ( θ ) − sen  ( θ ) = 0 haciendo un lado cero
$sen$  ( θ ) ( tan θ − 1) = 0 factor común
$sen\; (\theta )$ = 0 y $tan\; \theta$ − 1 = 0 igualando cada factor a cero
$sen\; (\theta )$ = 0 y $tan\; \theta$ = 1 resolviendo para seno y tangente
Las soluciones del seno son: 0,π,-π,2π,-2π,...
en general si $sen\; (\theta )$ = 0, entonces θ = πn para n entero.
Por otro lado la función tangente tiene período π, así la solución de $tan\; \theta$ = 1 en el intervalo (-π/2,π/2) es π/4.
En general, si $tan\; \theta$ = 1, entonces θ=$$ π 4 + πn
Finalmente, la solución de la ecuación dada son:
θ = πn y θ=$$ π 4 + πn para todo n entero. gráficamente tenemos:

Ejemplo 5
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, $2sen$ 2 (x) − sen  (x − 1) = 0
Solución:
La ecuación trigonométrica es del tipo cuadrático $2$ y 2 − y − 1 , que factoriza en (2y+1)(y-1).
Así nuestra ecuación trigonométrica factoriza en:
$($ 2 sen  (x) + 1 ) ( sen  (x) − 1 ) = 0
2$$ sen (x) + 1=0     y     sen$$  (x) − 1=0
2$$ sen (x) = − 1     y     sen$$  (x) = 1
$sen\; (x)$ = − 1 / 2     y     sen$$  (x) = 1
en el intervalo: [0, 2 $\pi$ )
$x$ = 7 π 6 , 11 π 6 , π 2
En general tenemos:
$x$ = 7 π 6 + 2 nπ , 11 π 6 + 2 nπ , π 2 + 2 nπ , gráficamente podemos observar las soluciones.

Ejemplo 6
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, $cos$  (x) + 1 = sen (x)
Solución:
Cuando no se encuentra ninguna identidad para reducir la expresión o no se puede factorizar, es útil elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado, pero hay que verificar la solución obtenida.
$cos$  (x) + 1 = sen (x)
$($ cos  (x) + 1 ) 2 = ( sen  (x) ) 2
$cos$ 2  (x) + 2 cos  (x) + 1 = 1 − cos 2 (x)
$2cos$ 2 (x) + 2$$ cos  (x) = 0
2cos$$  (x) ( cos  (x) + 1 ) = 0
$2$ cos (x) = 0     y     $cos$  (x) + 1 = 0
$cos\; (x)$ = 0     y     $cos\; (x)$ = − 1
x$$ = π 2 , 3 π 2 , π
Verificación:
si $x$ = π 2 , tenemos:
$cos$ ( π 2 ) + 1 = sen ( π 2 )
0+1=1 cierto.
si $x$ = 3 π 2 , tenemos:
$cos$ (  3 π 2 ) + 1 = sen (  3 π 2 )
0+1=-1 falso.
si x = π, tenemos:
$cos$ (π) + 1 = sen (π)
-1+1=0 cierto

Por lo que las soluciones únicamente son:  π 2 , π

En general: x$$ = π 2 + 2 nπ , π + 2 nπ

La gráfica muestra la ecuación trigonométrica igualada a cero, claramente se nota que las raíces de la función representa las soluciones de la ecuación trigonométrica.
Para practicar ejercicios sobre ecuaciones tringonométricas haz click en el siguiente botón

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Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

• Resolver ecuaciones trigonométricas en el intervalo básico [0, 2 $\pi$ ).
• Resolver ecuaciones trigonométricas en forma general .

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Algo más de teoría 

3. Demostraciones de identidades trigonométricas

Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:
$$co{s}^2\left(\alpha \right)+si{n}^2\left(\alpha \right)=1$$
En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.

Identidad trigonométrica fundamental

$$si{n}^2\left(a\right)+co{s}^2\left(a\right)=1$$

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Secante al cuadrado

$$se{c}^2\left(\alpha \right)=1+t{g}^2\left(\alpha \right)$$

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Cosecante al cuadrado

$$cose{c}^2\left(\alpha \right)=1+cot{g}^2\left(\alpha \right)$$

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Ángulos opuestos

$$sin(-\alpha )=-sin\left(\alpha \right)$$

$$cos(-\alpha )=cos\left(\alpha \right)$$

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Ángulos más/menos π

$$sin(\pi \pm \alpha )=\mp sin\left(\alpha \right)$$

$$cos(\pi \pm \alpha )=-cos\left(\alpha \right)$$

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Suma de Ángulos

Demostramos estas fórmulas en seno, coseno y tangente de la suma y la resta de ángulos.

Ángulo Doble

$$sin\left(2a\right)=2sin\left(a\right)cos\left(a\right)$$

$$cos\left(2a\right)=co{s}^2\left(a\right)-si{n}^2\left(a\right)$$

$$tg\left(2a\right)=\frac{2tg\left(a\right)}{1-t{g}^2\left(a\right)}$$

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Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:

Coseno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+cos\left(\alpha \right)}{2}}$$

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Seno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$sin\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-cos\left(\alpha \right)}{2}}$$

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Tangente del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$tg\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-cos\left(\alpha \right)}{1+cos\left(\alpha \right)}}$$

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Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:

Suma de Cosenos

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Resta de Cosenos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).

Suma de Senos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).

Resta de Senos

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Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:

Producto de seno y coseno

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Producto de cosenos

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Producto de senos

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Vídeos de Apoyo

Cybergrafía:

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/solving-trigonometric-equations-using-trigonometric-identities

https://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm

https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/identidades/identidades-trigonometricas-demostraciones-ejemplos.html

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/ec_trig/ec_trig.html